Em 2000, o Clay Mathematics Institute ofereceu um prêmio para quem conseguisse resolver um dos sete dos maiores problemas não resolvidos da matemática. O prêmio é de US$ 1 milhão por cada problema resolvido. Até agora, apenas um dos sete problemas foi resolvido.
Fundada em 1998 por um empresário de Boston e sua esposa, o Clay Mathematics Institute (CMI) é dedicado ao desenvolvimento e divulgação dos conhecimentos matemáticos. O CMI é uma organização de caridade isenta de impostos que apoia o trabalho dos principais pesquisadores de matemática. Em 2000, o instituto apresentou o que eles chamaram Problemas do Prêmio do Milênio, que consistia em sete dos problemas mais difíceis da matemática que estavam sem solução na virada do milênio.
O objetivo dos Problemas do Prêmio do Milênio foi mostrar ao público em geral que o campo da matemática ainda é uma questão aberta, com muitos problemas não resolvidos e para reconhecer realizações matemáticas que possuem magnitude histórica.
Até o momento, apenas um dos sete problemas foi resolvido. O matemático russo Grigori Perelman publicou uma série de artigos em 2003 alegando ter resolvido a conjectura de Poincaré.
A conjectura de Poincaré hipotetiza que um objeto tridimensional que está ligado sem buracos é uma esfera. Em seus artigos, Perelman provou a conjectura da geometrização de Thurston, uma extensão do que era a conjectura de Poincaré. Depois de uma análise cuidadosa de sua prova, Perelman foi agraciado com o prêmio de US $ 1 milhão, mas ele recusou. Ele também não apareceu para aceitar a Medalha do Campo, a mais alta honra na área de matemática, por seu trabalho na resolução do problema.
Os seis problemas restantes estão na gama de sub-campos do mundo matemático. A hipótese de Riemann envolve uma pergunta sobre números primos levantadas pelo matemático alemão Bernhard Riemann. A distribuição dos números primos não parece seguir qualquer padrão lógico, mas Riemann propôs uma função que está intimamente relacionada com a frequência de números primos. A hipótese afirma que as soluções “interessantes” para a função quando ela é igual a zero reside em uma linha vertical específica. 10.000.000.000 soluções foram encontradas para ajustar esses parâmetros, mas é uma prova de que toda solução interessante se encaixa que vai resolver o problema. Por outro lado, uma prova de que a solução não se encontra na linha, e, assim, refuta a hipótese de Riemann, também leva o prêmio de US$ 1 milhão.
O problema P versus NP é amplamente envolvido com o campo da ciência da computação. Um problema NP é aquele cuja resposta é fácil de verificar, e um problema P é aquele cuja resposta é fácil de encontrar. A questão é se existe ou não um problema que é fácil para um computador verificar, mas incrivelmente difícil para um computador resolver.
A teoria de Yang-Mills é usada para descrever as partículas elementares e é um fator importante na teoria das partículas elementares. A teoria de Yang-Mills, que foi testada em laboratório e amplamente confirmada, depende do que é chamado de gap de massa. A diferença em massa é a ideia de que a massa da mais leve partícula quântica deve ser positiva. Resolver este problema significaria proporcionar uma prova teórica da teoria de Yang-Mills.
Matemáticos do século 20 propuseram uma nova forma de observar objetos complexos. Eles aproximaram as formas de objetos complexos, combinando blocos geométricos simples. Este processo foi incrivelmente útil no campo da matemática, mas isso levou a uma técnica generalizada. Para cumprir a tarefa, em alguns casos, blocos de construção sem interpretação geométrica tiveram de ser adicionados. Estas peças, chamadas ciclos de Hodge, foram explicadas na conjectura de Hodge como sendo combinações de peças geométricas. Provar ou não a conjectura de Hodge levaria o prêmio.
No século 19, a equação de Navier-Stokes foi gravada. Matemáticos modernos acreditam que esta equação explica e pode prever o movimento da água e do ar. O problema é que nossa compreensão da equação é muito pequena. Encontrar as soluções para ela pode lhe render o prêmio.
A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer afirma a relação entre um grupo de pontos racionais e do número de pontos em uma curva elíptica. A curva elíptica é uma pedra angular da matemática que aparece em muitas áreas do campo. Foi usada na prova do Último Teorema de Fermat, que, antes da resolução de Wiles, era considerada o maior problema matemática não resolvido. A prova da conjectura de Birch e Sinnerton-Dyer poderia, assim, ter enormes implicações sobre o mundo da matemática. O mesmo poderia ser dito para todos estes problemas, onde provar ou não poderia mudar toda a nossa percepção da matemática, pelo menos em algum grau.
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